指数函数知识点总结教案（2022年）

下面是小编为大家整理的指数函数知识点总结教案（2022年）,供大家参考。

　班级：

　一对一 所授年级+科目课次：

　第次 学生：

　教学目标

　教学重难点

　 （一）

　指数与指数幂的运算 1． 根式的概念：

　一般地， 如果 负数没有偶次方根； 0 的任何当是奇数时，， 当2． 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义， 规定： 0 的正分数指数幂等于 0， 03． 实数指数幂的运算性质 （1）·（3）（二）

　指数函数及其性质 1、 指数函数的概念：

　一般地， 函数注意：

　指数函数的底数的取值2、 指数函数的图象和性质 a>1 定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 图象都过定点（0, 1）

　 xnaannn,,, 0(*nNnmaaanmnmrasrraa,, 0(sra srraaab)(,, 0(sra, 0( aayx654321-1-4-22401：

　高一数学 授课教师：

　上课时间：

　指数函数知识点总结 ， 那么叫做的次方根， 其中>1，何次方根都是 0， 记作。

　是偶数时，

　，的负分数指数幂没有意义 ； （2）

　；．

　叫做指数函数， 其中 x 是自变量， 函数值范围， 底数不能是负数、 零和 1．

　0<a<1

　定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 图象都过定点（0, 1）

　anxann00 n) 0() 0(||aaaaaann) 1,,, 0(11*nNnmaaaanmnmnm)Rrssraa)(),, 0(Rsra)R) 1a且6654321-1- 4-224601且∈*．

　数的定义域为 R．

　 nN) 1

　注意：

　利用函数的单调性， 结合（1）

　在[a， b]上，x （2）

　若， 则；（3）

　对于指数函数

　1． 比较大小

　 例 1 已知函数2( )f xxbx 满足是_____．

　分析：

　先求b c

　解：

　∵，x的值再比较大小(1)fx(1)f， ∴函

　故2b ， 又(0)3f， ∴3c 

　若0x≥， 则 321xx≥≥ ， ∴

　综上可得 (3 )(2 )xxff≥， 即( f评注：

　①比较大小的常用方法有②对于含有参数的大小比

　2． 求解有关指数不等式

　 例 2 已知232(25)(xaaa

　分析：

　利用指数函数的单调性求

　解：

　∵2225(1)4aaa  ≥

　∴ 31xx ， 解得14x ． ∴x

　评注：

　利用指数函数的单调性解1 的大小， 对于含有参数

　 3． 求定义域及值域问题

　 例 3 求函数216xy的定

　解：

　由题意可得2160x≥， 即即

　令26xt， 则1yt ， 又∵

　∴ 011t ≤， 即 01y ≤, ∴∴函数的值域是a (a) x ( fx01) x ( ffa (a) x ( fx合图象还可以看出：

　) 1a0 且) x ( f值域是或R；取遍所有正数当且仅当；

　， 总有；

　c(1)(1)fxfx， 且(0)3f， 则()) 与xf b小， 要注意函数f x 的对称轴是xxbc，的取值是否在同一单调区间内1x  ．

　( )． ∴函数( )f x 在 1，∞上递减， 在1 ，∞ 上递(3 )(2 )xxff≥； 若0x ， 则 321xx ， ∴(33 )f()()xxcf b≥．

　有：

　作差法、 作商法、 利用函数的单调性或中间比较问题， 有时需要对参数进行讨论．

　125)xa， 则 x 的取值范围是___________．

　求解， 注意底数的取值范围．

　41≥， ∴函数2(25)xyaa在 ()，∞∞ 上的取值范围是14，∞ ．

　解不等式， 需将不等式两边都凑成底数相同的指数的要注意对参数进行讨论．

　义域和值域．

　261x≤ ， ∴20x  ≤， 故2x≤, ∴函数( )f x2x≤， ∴20x  ≤．

　∴2061x≤ ， 即 0 01 ，．

　)]b ( f),a ( f [)]a ( f),b ( f [x a) 1a0a 且) 1 ( f ()xf c的大小关系内．

　递增．

　(2 )xxf．

　间量等．

　上是增函数，

　指数式， 并判断底数与的定义域是 2，∞．1t≤ ．

　评注：

　利用指数函数的单调性求值域时， 要注意定义域对它的影响．

　 4． 最值问题

　 例 4 函数221(01)xxyaaaa且在区间[ 11] ，上有最大值 14， 则 a 的值是_______．

　分析：

　令xta可将问题转化成二次函数的最值问题， 需注意换元后 t 的取值范围．

　解：

　令xta， 则0t ， 函数221xxyaa 可化为2(1)2yt， 其对称轴为1t   ．

　当1a  时， ∵11x  ，， ∴1xaaa≤≤， 即1taa≤ ≤．

　∴当 ta时，2max(1)2 14ya,

　 解得3a  或5a   （舍去）；

　当 01a 时， ∵11x  ，， ∴1xaaa≤≤， 即1ata≤ ≤，

　∴ 1ta时，2max11214ya， 解得13a 或15a   （舍去）；

　∴a 的值是 3 或13．

　评注：

　利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用， 比如：

　换元法， 整体代入等．

　 5． 解指数方程 223380．

　例 5 解方程xx

　解：

　原方程可化为29 (3 )80 390xx ， 令3 (0)xtt， 上述方程可化为298090tt  ， 解得9t 或19t  （舍去）， ∴ 39x， ∴2x ， 经检验原方程的解是2x ．

　评注：

　解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解， 要注意验根．

　 6． 图象变换及应用问题

　 例 6 为了得到函数9 35xy   的图象， 可以把函数3xy 的图象（

　）．

　A． 向左平移 9 个单位长度， 再向上平移 5 个单位长度

　 B． 向右平移 9 个单位长度， 再向下平移 5 个单位长度

　 C． 向左平移 2 个单位长度， 再向上平移 5 个单位长度

　 D． 向右平移 2 个单位长度， 再向下平移 5 个单位长度 分析：

　注意先将函数9 35xy   转化为235xt ， 再利用图象的平移规律进行判断．

　解：

　∵29 3 535xxy  ， ∴把函数3xy 的图象向左平移 2 个单位长度， 再向上平移 5 个单位长度， 可得到函数9 35xy   的图象， 故选（C）．

　评注：

　用函数图象解决问题是中学数学的重要方法， 利用其直观性实现数形结合解题， 所以要熟悉基本函数的图象， 并掌握图象的变化规律， 比如：

　平移、 伸缩、 对称等．

　 综合练习 1 比较下列各组数的大小：

　（1）

　若 ， 比较 与 ； （2）

　若 ， 比较 与 ；

　（3）

　若 ， 且 ， 比较 a 与 b；

　（4）

　若 解：

　 ， 且 ， 比较 a 与 b．

　（1）

　由 ， 故 ． 又 ， 故 ． 从而 ．

　（2）

　由 ， 因 ， 故 ． 又 ， 故 ． 从而 ．

　（3）

　应有 ． 因若 ， 则 ． 又 ， 故 ， 这样 ． 又因 ， 故 ． 从而 ， 这与已知 矛盾．

　（4）

　应有 ． 因若 ， 则 ． 又 ， 故 ， 这样有 ． 又因 ，且

　小结：

　比较通常借助相应函数的单调性、 奇偶性、 图象来求解．

　 ， 故 ． 从而 ， 这与已知 矛盾．

　 2 曲线 分别是指数函数 , 和 的图象, 则 与 1 的大小关系是 (

　) .

　 (

　 分析:首先可以根据指数函数单调性, 确定 , 在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为

　小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目, 第(1) 题是由数到形的转化, 第(2) 题则是由图到数的翻译, 它的主要目的是提高学生识图, 用图的意识.

　3 已知-1≤x≤2, 求函数 f(x) =3+2· 31 t， 且 f(x) =g(t) =-(t-3) , 故应选 .

　x+1-9x的最大值和最小值 解：

　设 t=3x, 因为-1≤x≤2， 所以932+12,

　故当 t=3 即 x=1 时， f(x) 取最大值 12； 当 t=9 即 x=2 时 f(x) 取最小值-24。

　4 已知函数 （（（1）

　求 的最小值；

　 （2）解：

　（1）

　当 即

　（2）

　当 时， ；5（1）

　已知mxfx132)(是奇（2）

　画出函数| 13 |xy的图象，| 3Ｘ－１ ｜ ＝k无解？ 有一解？ 有两解：

　（1）

　常数m=1 （2）

　当k<0时， 直线y=k与函数| y当k=0或k1时,

　直线y=k与函数所以方程有一解;

　当 0<k<1 时,

　直线 y=k 与函数3 | y 6 已知 ， 求函数解：

　由 得 ， 即7 求函数 y＝23231xx的单调区间分析

　这是复合函数求单调区间可设 y＝u31, u＝x2-3x+2， 其∴u＝xu＝x2-3x+2 的减区间就是原函2-3x+2 的增区间就是原函数解：

　设 y＝u31, u＝x2-3x+2, y 且 ）

　）

　若 ， 求 的取值范围．

　 ，

　 时， 有最小值为

　， 解得 当 时， ．

　奇函数， 求常数m的值；

　并利用图象回答：

　k为何值时， 方程两解？

　| 13 |x的图象无交点, 即方程无解;

　数| 13 |xy的图象有唯一的交点，| 13 x的图象有两个不同交点， 所以方程有两解 的值域．

　 ， 即 ， 解之得

　， 故所求函数的值域为 .

　间的问题 其中 y＝u31为减函数 函数的增区间(即减减→增)

　数的减区间(即减、 增→减)

　y 关于 u 递减，

　解。

　， 于是

　当 x∈(-∞，23) 时， u 为减函数， y 关于 x 为增函数；

　当 x∈［23， +∞) 时， u 为增函数， y 关于 x 为减函数.

　8 已知函数2( )f x()21xaaR，

　（1）

　求证：

　对任何, ( )R f xa为增函数； （2）

　若 ( )f x 为奇函数时， 求 a 的值。

　（1）211212122(22 ),( )f x()0(12 )(12 )xxxxxxf x设则 故对任何 a∈R， f（x）

　为增函数．

　（2）xRQ， 又 ( )f x 为奇函数，(0)0f 得到10a  。

　即1a 

　9

　定义在 R 上的奇函数)(xf有最小正周期为 2， 且) 1 , 0 (x时，142x)(xxf （1）

　求（3）

　当  为何值时， 方程)(xf在[－1， 1]上的解析式； （2）

　判断)(xf)(xf在（0， 1）

　上的单调性；

　上有实数解.

　=  在] 1 , 1[x解（1）

　∵( )f xxR是上的奇函数, ∴0) 0 (f, 又∵2 为最小正周期, ∴0) 1 (f) 1() 12 (f) 1 (ff设( 1,0)x ， 则(0,1)x ，)(142x1422x)(xfxfxxx∴142x)(xxf

　（2）2122112221212(22 )(22)01, ( )f x()(41)(41)xxxxxxxxxxxf x设=0) 14)(14 ()21)(22 (212121xxxxxx ∴在（0， 1）

　上为减函数。

　 （3）

　∵)(xf在（0， 1）

　上为减函数,

　∴) 0 (f)() 1 (fxf即)21,52()(xf

　同理)(xf在（－1， 0）

　时，)52,21()(xf, 又0) 1 (f) 0 (f) 1(f,

　∴当)21,52()52,21(或0时,)(xf在[－1， 1]内有实数解。

　10

　函数 y＝a｜ x｜(a>1) 的图像是(

　)

　x

　 x(-1,0)41( )f x

　0

　 x {-1,0,1}2x

　 x(0,1)41x

　分析 本题主要考查指数函数的论思想.

　解法 1：

　(分类讨论) ：

　去绝对值， 可得 y＝)1(aaxx　　　　　解法 2：

　因为 y＝a数.

　｜ x｜是偶函数一、 选择题 1． 函数 f（x）

　=(a2-1)x在 R 上是减A、

　 B、

　 C、 a<2. 下列函数式中， 满足 f(x+1) =ff(x) 的是(

　)

　A、

　(x+1)

　B、 x+2C 、3. 下列 f(x) =(1+ax)2是（

　 ）A、 奇函数

　 B、 偶函数 C4． 函数 y=是（

　 ）

　A、 奇函数

　 B、 偶函数 C5． 函数 y=的值域是（

　 ）A、（-）

　 B、（-0）（0，6． 下列函数中， 值域为 R+的是（

　1a2a21141xa1212xx121x1 ,, 的图像和性质、 函数奇偶性的函数图像， 以及数).0(),0(xx　　　　又 a>1， 由指数函数图像易知， 应选数， 又 a>1， 所以当 x≥0 时， y＝ax是增函数； x＜减函数， 则 a 的取值范围是（

　 ）

　 D、 1< 2x

　D、 2-x

　、 非奇非偶函数

　D、 既奇且偶函数 、 既奇又偶函数

　 D、 非奇非偶函数

　+）

　C、（-1， +）

　D、（-， -1）（0

　）

　22a形结合思想和分类讨选 B.

　＜0 时， y＝a-x是减函 ， +）

　

　A、 y=5

　B、 y=()1-xC、 y=

　 D、 y= 7． 已知 0<a<1, b<-1, 则函数 y=ax+b 的图像必定不经过（

　）

　A、 第一象限

　 B、 第二象限 C、 第三象限

　 D、 第四象限 二、 填空题 8． 函数 y=的定义域是 9． 函数 y=()(-3) 的值域是 10． 直线 x=a(a>0) 与函数 y=()x, y=()x, y=2x, y=10x的图像依次交于 A、 B、 C、 D 四点， 则这四点从上到下的排列次序是 11． 函数 y=3的单调递减区间是 12． 若 f(52x-1) =x-2, 则 f(125) = 答案 1、 D； 2、 D； 3、 B； 4、 A； 5、 D； 6、 B； 7、 A 8. (-, 0)(0, 1)

　(1, + ) 9． [（）9， 39]10． D、 C、 B、 A

　 11． （0， +）

　12． 0 三、 解答题 13、 已知关于 x 的方程 2a－7a+3=0 有一个根是 2,

　求 a 的值和方程其余的根.

　解: 2a －7a+3=0,

　a=或 a=3.

　a=时,

　方程为: 8· ()－14· ()+3=0x=2 或 x=1－log 3 a=2 时,

　方程为: · 2－· 2 +3=0x=2 或 x=－1－log 2 14、 设 a 是实数，, 试证明对于任意 a,为增函数.

　证明：

　设∈R, 且则 x21311)21(xx21 1151xx311822xx1 x3121232x3122 x1 x2212121x221x221x227x3)(122)(Rxaxfx)(xf21, xx21xx 

　 由于指数函数 y=在 R 上是增函数, 且, 所以即<0，

　又由>0 得+1>0,

　+1>0, 所以<0 即,

　因为此结论与 a 取值无关， 所以对于 a 取任意实数，为增函数.

　15、 已知函数 f(x) =(a －a) (a>0 且 a1) 在(－,

　+) 上是增函数,

　求实数 a 的取值范围.解: 由于 f(x) 递增，

　若设 x <x , 则 f(x ) －f(x ) =1[(a－a) －(a－a) ] =(a －a) (1+a· a) <0,

　故(a －9) ( (a －a) <0.

　(1),

　解得 a>3;

　(2)

　,

　解得 0<a<1.

　综合(1) 、 (2) 得 a(0,

　1)(3,

　+) 。

　16 求下列函数的定义域与值域.

　(1) y＝231x;

　 (2) y＝4x+2x+1+1.

　解：

　(1) ∵x-3≠0， ∴y＝231x的定义域为｛x｜ x∈R 且 x≠3｝ .

　又∵31x≠0， ∴231x≠1， ∴y＝231x的值域为｛y｜ y>0 且 y≠1｝ .

　(2) y＝4x+2x+1+1 的定义域为 R. ∵2∴y＝4x>0, ∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2· 2x+1＝(2x+1)2>1,

　x+2x+1+1 的值域为｛y｜ y>1｝ .

　17

　已知 9x-10. 3x+9≤0， 求函数 y=（41）x-1-4·（21）x+2 的最大值和最小值.

　解：

　由已知得（3x）2-10· 3x+9≤0

　 得（3x-9）（3x-1）

　≤0

　 ∴1≤3x≤9

　故 0≤x≤2

　) 12)(12 ()2x2 ( 2x22x122) 122()122()()(2121122121xxxxxaaxfxfx221xx 2122xx 2122xx x212x22x)()(21xfxf)()(21xfxf)(xf9| 1|2aaxx1229| 1|2aa1x1x2 x2 x9| 1|2aa1x2 x1x2 x21x2 x2091aa20910aa

　而 y=(41)x-1-4· (21)x+2= 4·（21）2x-4·（21）x+2

　令 t=（21）x（141 t）， 则 y=f（t）

　=4t2-4t+2=4（t-21）2+1

　 当 t=21即 x=1 时， ymin=1 ；

　当 t=1 即 x=0 时， ymax=2.

　18

　已知函数 f(x) ＝11xxaa (a>0 且 a≠1) .

　(1) 求 f(x) 的定义域和值域； (2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调性.

　解：

　(1) 易得 f(x) 的定义域为｛x｜ x∈R｝ . 设 y＝11xxaa, 解得 ax＝-11yy① ∵ax>0 当且仅当-11yy>0 时， 方程①有解. 解-11yy>0 得-1<y<1.

　∴f(x) 的值域为｛y｜ -1＜y＜1} .

　(2) ∵f(-x) ＝11xxaa＝xxaa11＝-f(x) 且定义域为 R， ∴f(x) 是奇函数.

　(3) f(x) ＝12) 1(xxaa＝1-12xa.

　1° 当 a>1 时， ∵ax+1 为增函数， 且 ax+1>0.

　∴12xa为减函数， 从而 f(x) ＝1-12xa＝11xxaa为增函数.

　2° 当 0<a<1 时， 类似地可得 f(x) ＝11xxaa为减函数.

　 教案审核：

　...

推荐访问:指数函数知识点总结教案 指数函数 知识点 教案